Na hora de resolver uma expressão numérica, é obrigatório resolver uma operação por linha? Ou será que a gente pode ir um pouco mais rápido?

Já ouviu dizer que é preciso resolver as expressões numéricas seguindo a seguinte ordem: potências e raízes, divisão e multiplicação e então adição e subtração?

E a regra que fala que primeiro resolvemos os parênteses, depois os colchetes e só então as chaves?

De onde vem esse tanto regra, por que elas existem? Invenção ou convenção?

Pra começar, eu quero conversar com vocês sobre uma regrinha de resolução de expressões numéricas que a gente aprende lá no Ensino Fundamental.

Primeiramente, resolvemos potências e radicais na ordem em que aparecem.

Em seguida, multiplicação e divisão na ordem em que aparecem.

Finalmente, adição e subtração na ordem em que aparecem.

Tem também uma regra relacionada aos parênteses, colchetes e chaves, que diz o seguinte:

“Primeiramente, devemos resolver as operações internas aos parênteses. Depois, as operações internas aos colchetes. Finalmente, as operações internas às chaves.”

Sobre isso, parênteses, colchetes e chaves, vamos falar depois. Vamos falar sobre as operações em si, primeiro.

Potências e radicais devem ser resolvidos antes de divisão e multiplicação, certo? O motivo é que potenciação e radiciação se reduzem à operação de multiplicação.

Como assim? Eu vou explicar, usando exemplos simples, que podem ser generalizados para casos mais complicados.

A operação 5² pode ser escrita na forma de multiplicação, que é 5 x 5.

Então, quando resolvemos uma potenciação, resolvemos, na verdade, uma multiplicação que está escrita de forma diferente.

E a radiciação? Entra nesse pacote, também? Sim. A operação raiz quadrada de 25, por definição, pode ser escrita como 25 elevado a ½, que é uma potência.

E o resultado, tanto da raiz quadrada de 25, como de 25 elevado a ½, é 5.

E, como a gente viu, a potenciação se reduz a uma operação de multiplicação.

Ótimo, então já resolvemos o caso da potenciação e da radiciação.

Mas e a divisão? A divisão também é multiplicação, e eu não estou ficando doido.

Qual é o resultado da operação 8 : 2? 4, claro. Mas qual é o resultado da operação 8 x ½, lembrando que ½ é o inverso de 2? Também é 4.

Ou seja, dividir por 2, é a mesma coisa que multiplicar pela metade.

Isso vale para outros casos, também. Dividir um número a por um número b nada mais é do que multiplicar um número a pelo inverso do número b.

Então, divisão é multiplicação, por isso não existe prioridade de uma operação sobre a outra.

Mas agora temos outra pergunta: Por que multiplicação e divisão têm prioridade sobre adição e subtração?

Vamos pensar na operação 4 × 5, cujo resultado é 20.

A multiplicação pode ser vista como uma soma de parcelas iguais, no contexto das expressões numéricas.

Então, 4 × 5 é igual a 4 parcelas iguais a 5, ou seja, 5 + 5 + 5 + 5, que também dá 20. Mas, como existe a comutatividade na operação de multiplicação, 4 × 5 é a mesma coisa do que 5 × 4.

E 5 × 4 são 5 parcelas iguais a 4: 4 + 4 + 4 + 4 + 4, que também dá 20.

Então, a multiplicação é uma adição. E a divisão, como já vimos, é uma multiplicação, que é uma adição.

E a potenciação e a radiciação são multiplicações, que, como acabamos de ver, são adições. Então, tudo se reduz à operação de adição.

Mas eu ainda não falei da operação de subtração.

Vejamos a operação 5 – 2. Costumamos dizer que estamos subtraindo duas unidades de 5. E o resultado é 3, não é mesmo?

Mas também podemos dizer que essa operação é: 5 + (-2), ou seja, estamos somando o número -2 ao número 5.  E o resultado também é 3.

Sendo assim, a subtração nada mais é do que a adição de um número negativo.

Por esse motivo, quando aparecem as operações de adição e subtração, resolvemos essas operações na ordem em que aparecem.

Viram só? Tudo é adição.

Recapitulando: Radiciação é potenciação, potenciação é multiplicação, multiplicação é adição.

E divisão é multiplicação, e multiplicação é adição.

E subtração também é adição.

Novamente, no fim das contas, tudo é adição.

A prioridade das potências e radicais sobre divisão e multiplicação e a prioridade da divisão e multiplicação sobre adição e subtração se dá pelo seguinte fato: “Quando resolvemos potenciação, radiciação, divisão e multiplicação primeiro, estamos, na verdade, resolvendo operações de adição, porém, essas operações estão escritas como operações diferentes.”

No fim das contas, reduzimos tudo à operação de adição. 

Ficou claro?

Agora você pode estar se perguntando: e a prioridade estabelecida entre parênteses, colchetes e chaves?

Essa prioridade, é preciso dizer, é uma convenção matemática, gente.

Poderia ser diferente, mas a ideia é que se resolvam as operações de dentro para fora, numa expressão numérica.

Normalmente, as chaves abraçam os colchetes e, dentro dos colchetes, costumam ficar algumas operações entre parênteses.

Isso justifica, portanto, a ideia de se resolver de dentro para fora, priorizando os parênteses, depois as chaves e depois os colchetes.

Entretanto, se aparecer uma operação dentro de chaves e, sem estar dentro dessas chaves, aparecer uma operação entre parênteses ou colchetes, essa prioridade não faz muito sentido, uma vez que as operações, nesse caso, são independentes, e o resultado de uma não vai interferir na outra.

Da mesma forma, se alguém construir uma expressão numérica que parênteses abraçam operações entre colchetes e os colchetes abraçam operações entre parênteses (o que não é comum nos livros, mas é totalmente viável matematicamente falando), a gente precisa inverter a ordem de prioridade, mantendo a lógica de resolver a expressão de dentro para fora.

Então, preste atenção a isso, essa convenção de resolver operações entre parênteses, para depois resolver as entre colchetes e só então as operações entre as chaves, só faz sentido se os parênteses estiverem dentro dos colchetes e estes estiverem dentro das chaves.

Caso contrário, prevalece a lógica de resolver a expressão numérica de dentro para fora, tudo bem?

E aí, o que achou disso tudo? Se quiser, me conta.

Grande abraço e até a próxima! Tchau, tchau!